Всего: 51 1–20 | 21–40 | 41–51
Добавить в вариант
Решить уравнение: 
Воспользуемся формулой 
преобразуем уравнение к виду 
Сложим в нём первый и третий косинусы: 
и введём замену 
Получим уравнение 
из которого 
Отсюда находим три серии решений: 
Отбор корней тут не нужен.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Потеря одной серии решений, или их неверное нахождение. | 4 |
| Потеря двух серий, или их неверное нахождение. | 2 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Для чисел x, y, z, t из интервала 
выполняется равенство
Докажите, что сумма некоторых двух из чисел x, y, z, t равна сумме двух остальных.
Введем обозначения 
Используя формулы
получим равенство
которое преобразуется в равенство 
Итак, должно выполнятся хотя бы одно из равенств: p = r или q = s. В первом случае имеем
Во втором случае получаем, что 
Таким образом, всегда сумма некоторых двух из чисел x, y, z, t равна сумме двух остальных.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 12 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования. ИЛИ Рассмотрены оба возможных случая (p = r и q = s) или представлено альтернативное решение, некоторые обоснования. | ± | 8 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Верно рассмотрен только один из возможных случаев (p = r и q = s). | +/2 | 6 |
| Решение незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. | ∓ | 2 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
Решить уравнение 
Применяя к левой части уравнения формулу синуса двойного угла, а к правой части формулу преобразования разности косинусов в произведение получаем:
или
Отсюда или
или
Во втором случае, замечая, что
и применяя формулу преобразования суммы синусов в произведение, будем иметь
Так как 
то
Ответ: 
За обоснованное решение — 10 баллов, если получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов решения — 6 баллов.
Решить уравнение 
Применяя к левой части уравнения формулу синуса двойного угла, а к правой части формулу преобразования суммы синусов в произведение, получим:
или
Отсюда или
или
Во втором случае, применяя формулу преобразования разности косинусов в произведение, будем иметь
Ответ:
Один двоечник нaписaл следующие неверные формулы синусa и косинусa суммы: 
и 
В свое опрaвдaние он скaзaл, что при некоторых 
и 
его формулы всё же верны. Нaйдите все тaкие пaры 
Составим систему:
Из первого равенства следует, что
Отсюда
где 
В первом случае 
Таким образом, фор мула «косинуса суммы» превращается в 
откуда 
и, соответственно, 
где 
Во втором случае мы получаем либо 
или 
где 
Тогда второе равенство превращается в 
или ан алогичное равенство для β, что невозможно. Значит, остаётся только первый случай.
Ответ: 
а) В прямоугольнике ABCD 
Точки E и F делят сторону BC на три равные части. Докажите, что
б) Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты x, y которых удовлетворяют уравнению
в) Вычислите сумму
а) Нетрудно видеть, что данное равенство равносильно тому, что
которое верно, поскольку
б) Искомое множество есть объединение биссектрис координатных углов, 
Ясно, что точки, для которых 
удовлетворяют данному уравнению. Для того, чтобы показать, что других точек нет, найдем значения тангенса каждой из частей данного уравнения. Имеем
откуда следует, что 
или 
в) Поскольку
Теперь нетрудно догадаться и доказать по индукции, что сумма первых n слагаемых в данной бесконечной сумме равна 
при 
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Нарисуйте график функции 
б) Решите уравнение 
в) Решите неравенство 
г) Для того, чтобы обеспечить себя в старости, Джон открыл счет в банке и решил ежегодно вносить на 
а) См. рисунок
б) Возводя уравнение в квадрат, получим
Теперь нужно выбрать из этих ответов только те, для которых 
Например для 
нужно выбирать только четные k, 
аналогично и для 
нужно выбирать четные k.
в) Перепишем неравенство в виде 
Построим сначала график функции 
отразим его относительно вертикальной оси (получим график 
), сдвинем вправо на 
(получим график 
) и вниз на 
Теперь рассмотрим прямые, проходящие через начало координат и выясним, при каких x точка на прямой лежит выше соответствующей точки на графике или совпадает с ней. Пусть для начала a сильно отрицательное число. Тогда, очевидно, ответом будет 
Будем теперь увеличивать a. Ситуация будет меняться следующим образом. При некотором 
прямая пройдет через точку 
и к ответу добавится 
Затем прямая будет пересекать обе ветви графика и появится еще небольшой отрезок между точками пересечения. Затем при некотором 
прямая коснется левой ветви графика и ответом будут все x до точки пересечения с правой ветвью. Затем появится вторая точка пересечения с левой ветвью а ответом будут все x левее этой точки и все от 0 до точки пересечения с правой ветвью.
Это будет продолжаться, пока a не станет нулем и первый промежуток не пропадет. Затем a станет положительно. 
подходить уже не будут, зато появится вторая точка пересечения с правой ветвью и к ответу добавятся все точки правее этой точки пересечения.
Это будет продолжаться, пока прямая не станет касательной к правой ветви при некотором 
С этого момента будут подходить все 
Осталось найти все эти точки пересечения и определить конкретные значения 
Решим уравнение 
для поиска точек пересечения с левой ветвью, получим
Иногда этот корень будет посторонним, но нам это неважно, поскольку мы уже определили по рисунку ситуации, когда он будет на самом деле.
Решим уравнение 
для поиска точек пересечения с правой ветвью, тогда
Из этих двух корней иногда нужен только один — тогда это меньший корень, 
Второй соответствует пересечению с нижней ветвью параболы 
которая не относится к графику (на рисунке показана пунктиром) можно найти из уравнения 
откуда 
и равно угловому коэффициенту касательной к линии 
в точке 
то есть производной от данной функции в точке 
Решим
что при 
дает 
Наконец 
должно быть таким положительным числом, при котором склеиваются точки пересечения прямой с правой ветвью графика, откуда
Поскольку 
следует выбрать 
Теперь можно написать ответ.
При 
При 
При 
При 
При 
При 
При 
При 
г) На первые его 2 000 банк начислит проценты 26 раз, на вторые −25 и так далее, поэтому общий размер его вклада составит
Если вычесть из этой суммы 20000 долларов и потом начислить на остаток 
то вклад составит
и нужно сравнить это число с предыдущим остатком по вкладу. Докажем, что оно больше, тогда он сможет жить на проценты с вклада. Сравним
Заметим, что
поэтому
Знание 
не пригодилось. Чтобы его нормально использовать, нужно, кажется, тратить по 18 тысяч. Тогда надо будет доказывать, что 
что верно поскольку 
Ответ:
б) 
в) 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
где 
г) да, достаточно.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б)
в) при при при при при при где
г) да, достаточно.
Решите уравнение
В ответе укажите наименьший положительный угол в градусах.
Преобразуем исходное выражение:
верно.
Ответ: 48.
Решите уравнение 
Преобразуем исходное уравнение:
Ответ: 
Числа x и y таковы, что выполняются равенства 
и 
Найдите 
На ОДЗ первое равенство равносильно следующим:
Преобразуем второе равенство:
Подставляем в левую часть 
вместо 
и преобразуем полученное равенство (учитываем, что в силу 
Ответ: 
Ошибка в тригонометрической формуле — 0 баллов за задачу.
Числа x и y таковы, что выполняются равенства 
и 
Найдите 
На ОДЗ первое равенство равносильно следующим:
Преобразуем второе равенство:
Подставляем в левую часть 
вместо 
и преобразуем полученное равенство (учитываем, что в силу 
Ответ: 
Ошибка в тригонометрической формуле — 0 баллов за задачу.
Найдите значение выражения 
Вычислим:
Ответ: 
Применены неверные тригонометрические формулы — 0 баллов за все последующие действия.
Найдите значение выражения 
Вычислим:
Ответ:
Применены неверные тригонометрические формулы — 0 баллов за все последующие действия.
Сколько решений имеет уравнение
в промежутке [0°; 2018°]?
Освободим уравнение от знаменателей, одновременно приведя его к однородному путем замены 1 выражением 
Будем иметь:
Чтобы можно было применить хотя бы к первым членам этого равенства формулу синуса суммы, нужно, чтобы 
и 
входили в первых степенях. Для этого заменим
и 
Получим:
Как видим, первый и третий члены дают 
а второй и четвертый:
Итак, имеем
Для преобразования последних двух членов прибавим к ним равное нулю выражение
раскрыв в нем предварительно скобки. Получим:
Возвращаемся к уравнению:
И, наконец, окончательно
Теперь уже уравнение решается легко. Первый множитель дает:
Из второго находим:
Отсюда
Ответ: 17.
Даны числа 
Найдите максимальное значение выражения
Заметим, что 
при любых 
Применяя неравенство для среднего гармонического и среднего арифметического, мы получим
Равенство реализуется при 
Ответ: 
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Для каждого натурального 
пусть 
означает число решений уравнения 
на интервале 
Найдите явный вид зависимости от n и определите, сколько раз принимает значение 2017.
По формуле разности синусов
что обращается в 0 при 
или при 
Из первого уравнения получаем
для любых целых j. Поскольку 
то 
Таким образом, в этом случае есть 
решений, где [a] обозначает целую часть числа а.
Второе уравнение имеет решение 
или 
для любых целых k. Поскольку то 
В этом случае есть
решений.
Однако среди решений первого и второго уравнения могут быть одинаковые, необходимо найти их. Решения будут совпадать, если
что эквивалентно делимости нацело числителя на знаменатель. При чётных n это невозможно, так как числитель — нечётное число, а знаменатель — чётное.
Если 
тогда знаменатель кратен 8, а числитель кратен только 2, то есть этот случай также невозможен.
Рассмотрим оставшийся случай Вычтем из второго выражения удвоенное первое: то есть Отсюда следует, что то есть Значит, единственный случай, когда Таким образом, для каждого В итоге, формула для Поскольку Ответ: a) 
Условие «k-целое число» в эквивалентно 
и 
взаимно просты. Действительно, если предположить, что у них есть общий делитель d, 
и 
Следовательно, 
делится на 
при этом 
и с учётом нечётности 
Поэтому 
но 
делится на 
Это случай, когда
совпадает одно решение первого и второго уравнения. принимает вид: 
то 
и 
Значит, значение 2017 принимается 2 раза. 
б) 2 раза.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
б) 2 раза.Даны числа 
Найдите максимальное значение выражения
Мы можем считать, что 
и 
поскольку выражение A не меняется при циклической перестановке переменных. Заметим, что
Аргумент синуса из правой части лежит на 
а косинуса — на 
так как 
Рассмотрим два случая.
1) Когда 
Наибольшей правая часть будет при максимально возможном x, то есть при 
и значение A окажется нулевым.
2) Когда 
При фиксированных y и z правая часть достигнет максимума при В этом случае
Выражение в правой части увеличивается с ростом y, поэтому его максимум достигается при 
и равен 
Таким образом, 
Равенство реализуется при 
и 
Ответ:
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Числа x, y, z — углы треугольника, причем больший угол z не превосходит 
Найдите максимальное значение выражения
В силу неравенства Коши для средних
Положим
Заметим, что 
Если 
то заменим y на 
При этом увеличатся и 
а значит, и B. Поэтому максимум B достигается при 
В этом случае
Таким образом, 
Равенство реализуется при 
и 
Ответ: 
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Известно, что углы A, B, C треугольника ABC удовлетворяют соотношению
Приведите хотя бы один пример такого треугольника, длины сторон которого: а) рациональны; б) действительны.
Заметим, что
и
Будем теперь преобразовывать левую часть данного в условии задачи равенства:
Итак, углы треугольника АВС связаны зависимостью
Преобразуем это равенство следующим образом:
Далее:
и
Это даёт нам: 
Так как
то искомое соотношение между сторонами треугольника имеет вид:
при 
следовательно, 
и 
Ответ: a) ∅; б) да.
Решить уравнение 
Преобразуем исходное выражение:
Воспользуемся формулой
Отсюда
или
Ответ: 
Наверх